S80の統計備忘録

頑張って統計の勉強をしています。

【確率分布】ポアソン分布の確率関数、確率母関数、期待値、分散

statistics study

今回はポアソン分布です。 eがたくさん出てきて難しかったですが頑張りました。

目次です。

ポアソン分布とは

単位時間あたりに平均 \lambda（ラムダ）回起こる事象が k回起こる確率を、ポアソン分布と言います。

これは2項分布から nを大、 pを小としたときの極限として得られる確率分布です。 上記の \lambdaは \lambda = npであり、一定です。
（竹村（2020）. 『新装改訂版 現代数理統計学』を参考に作成）

つまり、個別の確率 (p)は小さくても試行数 (n)が大きいので、 \lambdaの値はそれなりに大きくなると言うことです。個別の事象の発生は珍しいけれど、無視はできない事象についての確率分布です。

Wikipediaによると、以下のような事象がポアソン分布で扱われます。

  • 1時間に特定の交差点を通過する車両の台数
  • 1時間あたりの電話がかかってくる件数

wikipedia: ポアソン分布

確率関数

ポアソン分布の確率関数を求めていきます。上記の通り元は2項分布の形をしていますので、2項分布について \lambda = npを固定して {n \to \infty}となる確率分布を求めます。2項分布の式に p = \frac{\lambda}{n}を代入すると、以下の式になります。

\begin{eqnarray} P(X = k) &=& \frac{n(n - 1)\cdots (n - k + 1)}{k!} (\frac{\lambda}{n})^ k (1 - \frac{\lambda}{n})^ {n - k}\\&=& \frac{\lambda^ k}{k!} (\frac{n - 1}{n})\cdots\ (\frac{n-k+1}{n})(1-\frac{\lambda}{n})^ n (1 - \frac{\lambda}{n})^ {-k}\\&=&\frac{\lambda^ k}{k!} e^ {- \lambda} \end{eqnarray}

なお上記の計算には、 \lim_{x \to \infty} (1 + x)^ {\frac{1}{x}} = eを用いて以下の変形を行なっています。

\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} (1 - \frac{\lambda}{n})^ n &= &\bigl((1 - \frac{\lambda}{n})^ {-\frac{1}{\frac{\lambda}{n}}}\bigr)^ {- \lambda} \end{eqnarray}

この時、 -\frac{\lambda}{n} = xと置くと、上記の式は以下のように書けます。

\begin{eqnarray} \bigl((1 + x)^ {\frac{1}{x}}\bigr)^ {- \lambda} = e^ {-\lambda} \end{eqnarray}

確率母関数

次にポアソン分布の確率母関数を求めます。

\begin{eqnarray} G(s) &=& E[s^ X]\\ &=& \sum_{k = 0}^ \infty \frac{(s \lambda)^ k}{k!} e^ {- \lambda}\\ &=& e^ {\lambda(s - 1)} \end{eqnarray}

なおこの式展開には、以下の通りテイラー展開を用いています。

\begin{eqnarray} e^ \lambda &=& 1 + \lambda + \frac{\lambda^ 2}{2!} + \cdots\\ &=& \sum_{k = 0}^ \infty \frac{\lambda^ k}{k!} \end{eqnarray}

期待値

確率母関数を1回微分します。この時、 s=1です。また、この式変形には、以下の合成関数の微分を用います。

\begin{eqnarray} \frac {dy}{dx} &=& \frac{dy}{dt} \frac{dt}{dx} \end{eqnarray}

計算を進めると以下のようになります。

\begin{eqnarray} \frac {dG(s)}{ds} &=& E[X]\\ &=& \lambda e^{\lambda(s-1)} \mid_{s = 1}\\ &=& \lambda \end{eqnarray}

計算したものの、ポアソン分布はそもそも平均 \lambda回起こる事象を扱う確率分布なので、期待値は当然 \lambdaになります。

分散

続いて分散を求めるために、まずは確率母関数を2回微分します。

\begin{eqnarray} \frac {d^2 G(s)}{ds^2} &=& E[X(X - 1)]\\ &=& \lambda e^{\lambda(s-1)} \mid_{s = 1}\\ &=& \lambda^ 2 e^{\lambda(s-1)} \mid_{s = 1}\\ &=& \lambda^ 2 \end{eqnarray}

最後に、以下の式で分散を計算します。

\begin{eqnarray} Var(X) &=& E[X^ 2]- E[X]^ 2\\ &=& E[X(X - 1) ] + E[X ] - E[X]^ 2\\ &=& \lambda^ 2 + \lambda - \lambda^ 2\\ &=& \lambda \end{eqnarray}

分散も \lambdaでした。

以上です。お読みいただきありがとうございました。

参考図書

勉強中です。頑張っています。

新装改訂版 現代数理統計学

新装改訂版 現代数理統計学